Números complejos

Números imaginarios

Supongamos que tienes el caso de una raíz cuadrada con un número negativo como \(\sqrt{-3}\). El resultado de esta no es un número real como ya lo mencionamos; pero aun así, podemos expresarla como el producto de un número real y un número llamado el número imaginario \(i\).

Esta definición la podemos encontrar usando las propiedades de las raíces y potencias.

Los números imaginarios son una de las dos partes que componen un número complejo; esto lo veremos más adelante en mayor detalle.

Definición de números complejos

Ya sabes lo que es un número imaginario. Pero, ¿qué tal si te decimos que los imaginarios son solo una componente de un número más complejo? Parece algo redundante, pero estos números son los llamados números complejos.

Las características que cumplen los números complejos son:

• El conjunto de los números complejos \(\mathbb C\) contiene los números reales \(\mathbb R\).

• En \(\mathbb C\) se encuentra la unidad imaginaria definida como \(i=\sqrt{-1}\).

• Los números complejos \(z\) se escriben como \(z=a+bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales, y \(a\) es la parte real de \(z\), Re \(z\) y \(b\) es la parte imaginaria de \(z\), Im \(z\).

• En \(\mathbb C\) también encontramos las reglas de la suma y la multiplicación, tal como se conocen para \(\mathbb R\).

Podemos ver varios ejemplos de números complejos a continuación:

Los números complejos pueden ser representados en un diagrama de dos dimensiones, donde la coordenada \(y\) es la parte imaginaria y la coordenada \(x\) es la parte real.

Representación gráfica de números complejos

Para representar los números complejos gráficamente se usa un sistema de coordenadas de dos dimensiones, en el denominado plano imaginario. Los números complejos, en este caso, son vectores que salen desde el origen \((0,0)\) hasta el punto \((a,b)\).

Por ejemplo, el número complejo \(4+6i\) es un vector que sale desde el punto \((0,0)\) hasta el punto \(x=4\) e \(y=6\). Esto lo puedes ver en el siguiente gráfico:

Fig. 1. Número complejo y sus componentes.

El ángulo que forman las componentes se llama argumento; el argumento de un complejo se mide en radianes o grados, y se representa por Arg\(z\), en la grafica se ve como \(\theta\)

Fig. 2. Número complejo, sus componentes \(a,b\) y su argumento.

Para calcular el argumento, debes simplemente aplicar la función \(\arctan\) al cociente de los componentes.

Hagamos un ejercicio sencillo de ejemplo:

Conjugado de números complejos

El conjugado de un número complejo es el número complejo cuando su parte imaginaria cambia de signo.

El número complejo conjugado permanece con la misma longitud (magnitud) y la misma forma, solo que se encuentra reflejado en el plano de las \(x\), como se ve en la imagen siguiente:

Fig. 4. Número complejo \(u\) y su conjugado \(v\) en el plano imaginario.

Veamos un pequeño ejemplo, para que esto quede claro:

El teorema fundamental del álgebra y los números complejos

El teorema fundamental del álgebra nos dice que:

Lo que este teorema expresa es que cualquier polinomio \(P^n(z)\) de grado \(n\) tiene \(n\) raíces, lo que hace que se pueda factorizar el polinomio en cada uno de estos factores dados por las raíces: \[P^n(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_n)\]

Supongamos que tienes el polinomio \(x^2-x-2\), y sus raíces son \(x=-1\) y \(x=2\). Pero, mencionamos que las raíces son números complejos, ¿no es así? Esto tiene que ver con los distintos tipos de números: los números reales son un subconjunto de los números complejos.

Dicho esto, podemos deducir que todo polinomio va a tener soluciones, aunque estas sean complejas. Por tanto, todo polinomio se va a poder descomponer en factores.

Descomposición factorial de un polinomio

La descomposición factorial de un polinomio es otra propiedad interesante de los polinomios y los números complejos: un polinomio puede descomponerse en tantos factores de grado uno o monomios como sea el grado del polinomio.

Entonces, debemos calcular su factorización utilizando el teorema fundamental del álgebra:

Esto cumple el teorema fundamental del álgebra, ya que el polinomio es de grado mayor que cero y, además, sus raíces están en el grupo de los complejos.

Módulo de un número complejo

Los números complejos, al ser expresados como vector en dos dimensiones, tienen también una magnitud. Como todo vector, su magnitud esta dada por la siguiente fórmula: \[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]

• Donde \(a\) y \(b\) son las partes real e imaginaria, respectivamente, del número complejo.

Veamos un ejemplo sencillo: