Números reales

Operaciones con números reales

Las operaciones que se pueden realizar con los números reales incluyen todos los operadores aritméticos conocidos: suma, resta, multiplicación y división, además de potencias y, en algunos casos, raíces (siempre y cuando estas no sean negativas). Además, incluyen otras funciones especiales en ciertos rangos como el logaritmo y la función exponencial.

Conjunto de los números reales y sus divisiones

Los números que se utilizan para contar se conocen como números enteros y forman parte de los números racionales. Los números racionales y los números enteros componen también los números reales, pero hay muchos más. Podemos ver una lista a continuación:

• Números naturales, con el símbolo $\mathbb{N}$

• Números naturales mas el cero, con el símbolo $\mathbb{W}$

• Números enteros, con el símbolo $\mathbb{Z}$

• Números racionales, con el símbolo $\mathbb{Q}$

• Números irracionales con el símbolo ${\mathbb{Q}}^{\prime }$

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Clasificación de los números reales

Es importante saber que cualquier número real elegido podrá ser un número racional o un número irracional, que son los dos grupos principales de números reales.

Números racionales

Se expresan en la forma $\frac{p}{q}$, donde $p$ y$q$ son números enteros y $q\ne 0$.

El conjunto de los números racionales se denota siempre por$\mathbb{Q}$.

Tipos de números racionales

Hay diferentes tipos de números racionales. Estos son:

• Números enteros. Por ejemplo, $-3,5$ y $4$.

• Fracciones de la forma: $\frac{p}{q}$,donde $p$ y $q$ son números enteros. Por ejemplo, $\frac{1}{2}$.

• Números que no tienen infinitos decimales. Por ejemplo, $\frac{1}{4}=0.25$.

• Números que tienen infinitos decimales. Por ejemplo, $\frac{1}{3}=0.333$.

Números irracionales

Por lo tanto, son números que no pueden expresarse en la forma $\frac{p}{q}$, donde$p$ y$q$ son números enteros.

Como se mencionó anteriormente, los números reales constan de dos grupos: los números racionales e irracionales. $(\mathbb{R}-\mathbb{Q})$ expresa que los números irracionales se pueden obtener al restar el grupo de números racionales $\mathbb{Q})$ del grupo de números reales $\mathbb{R})$. Esto nos deja con el grupo de números irracionales denotado por${\mathbb{Q}}^{\prime })$.

Ejemplos de números irracionales

En este caso, el valor decimal nunca se detiene y no tiene un patrón repetitivo. El valor fraccionario más cercano a $\pi \approx \frac{22}{7}$, por lo que la mayoría de las veces tomamos pi como $\frac{22}{7}$.

Propiedades y operaciones con los números reales

Al igual que ocurre con los números enteros y naturales, el conjunto de los números reales también tiene la propiedad de cierre, la propiedad conmutativa, la propiedad asociativa y la propiedad distributiva. Estas propiedades nos permiten hacer operaciones con los números.

Propiedad de cierre

El producto y la suma de dos números reales es siempre un número real. La propiedad de cierre se establece así: para todo $(a,b)\in \mathbb{R}$, $(a+b)\in \mathbb{R}$ y $a\cdot b\in \mathbb{R}$.

Propiedad conmutativa

El producto y la suma de dos números reales siguen siendo los mismos después de intercambiar el orden de los números. La propiedad conmutativa se expresa así: para todo $(a,b)\in \mathbb{R}$, $(a+b)=(b+a)\in \mathbb{R}$ y $(a\cdot b)=(b\cdot a)\in \mathbb{R}$.

Propiedad asociativa

La suma o el producto de tres números reales cualesquiera sigue siendo el mismo, aunque se cambie la agrupación de los números.

La propiedad asociativa se expresa como: para todo $(a,b,c)\in \mathbb{R}$, $(a+b)+c=(a+c)+b\in \mathbb{R}$ y $(a\cdot b)\cdot c=(a\cdot c)\cdot b\in \mathbb{R}$.

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma se expresa como: para todo $a,b,c\in \mathbb{R}$, $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.

$$a\cdot (b-c)=(a\cdot b)-(a\cdot c)$$.