Números reales

Operaciones con números reales

Las operaciones que se pueden realizar con los números reales incluyen todos los operadores aritméticos conocidos: suma, resta, multiplicación y división, además de potencias y, en algunos casos, raíces (siempre y cuando estas no sean negativas). Además, incluyen otras funciones especiales en ciertos rangos como el logaritmo y la función exponencial.

Conjunto de los números reales y sus divisiones

Los números que se utilizan para contar se conocen como números enteros y forman parte de los números racionales. Los números racionales y los números enteros componen también los números reales, pero hay muchos más. Podemos ver una lista a continuación:

• Números naturales, con el símbolo \( \mathbb{N} \)

• Números naturales mas el cero, con el símbolo \( \mathbb{W} \)

• Números enteros, con el símbolo \( \mathbb{Z} \)

• Números racionales, con el símbolo \( \mathbb{Q} \)

• Números irracionales con el símbolo \( \mathbb{Q'} \)

Clasificación de los números reales

Es importante saber que cualquier número real elegido podrá ser un número racional o un número irracional, que son los dos grupos principales de números reales.

Números racionales

Se expresan en la forma \(\frac{p}{q}\), donde \(p\) y\(q\) son números enteros y \(q \neq 0\).

El conjunto de los números racionales se denota siempre por\( \mathbb{Q}\).

Tipos de números racionales

Hay diferentes tipos de números racionales. Estos son:

• Números enteros. Por ejemplo, \(-3, 5\) y \(4\).

• Fracciones de la forma: \(\frac{p}{q}\),donde \(p\) y \(q\) son números enteros. Por ejemplo, \(\frac{1}{2}\).

• Números que no tienen infinitos decimales. Por ejemplo, \(\frac{1}{4}=0.25\).

• Números que tienen infinitos decimales. Por ejemplo, \(\frac{1}{3}=0.333\).

Números irracionales

Por lo tanto, son números que no pueden expresarse en la forma \(\frac{p}{q}\), donde\(p\) y\(q\) son números enteros.

Como se mencionó anteriormente, los números reales constan de dos grupos: los números racionales e irracionales. \((\mathbb{R} - \mathbb{Q})\) expresa que los números irracionales se pueden obtener al restar el grupo de números racionales \(\mathbb{Q})\) del grupo de números reales \(\mathbb{R})\). Esto nos deja con el grupo de números irracionales denotado por\(\mathbb{Q'})\).

Ejemplos de números irracionales

En este caso, el valor decimal nunca se detiene y no tiene un patrón repetitivo. El valor fraccionario más cercano a \(\pi \approx \frac{22}{7} \), por lo que la mayoría de las veces tomamos pi como \(\frac{22}{7}\).

Propiedades y operaciones con los números reales

Al igual que ocurre con los números enteros y naturales, el conjunto de los números reales también tiene la propiedad de cierre, la propiedad conmutativa, la propiedad asociativa y la propiedad distributiva. Estas propiedades nos permiten hacer operaciones con los números.

Propiedad de cierre

El producto y la suma de dos números reales es siempre un número real. La propiedad de cierre se establece así: para todo \((a, b) \in \mathbb{R} \), \((a+b) \in \mathbb{R}\) y \(a \cdot b \in \mathbb{R} \).

Propiedad conmutativa

El producto y la suma de dos números reales siguen siendo los mismos después de intercambiar el orden de los números. La propiedad conmutativa se expresa así: para todo \((a, b) \in \mathbb{R} \), \((a+b)=(b+a) \in \mathbb{R}\) y \( (a \cdot b)= (b \cdot a) \in \mathbb{R} \).

Propiedad asociativa

La suma o el producto de tres números reales cualesquiera sigue siendo el mismo, aunque se cambie la agrupación de los números.

La propiedad asociativa se expresa como: para todo \((a, b, c) \in \mathbb{R} \), \((a+b)+c=(a+c)+b \in \mathbb{R}\) y \( (a \cdot b) \cdot c=(a \cdot c) \cdot b \in \mathbb{R} \).

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma se expresa como: para todo \(a, b, c \in \mathbb{R} \), \(a \cdot (b+c)=(a \cdot b)+ (a \cdot c)\).

\[a \cdot (b-c)= (a \cdot b)- (a \cdot c)\].