- Este artículo trata sobre los cálculos de productos de solubilidad en fisicoquímica.
- Recapitularemos la relación entre la solubilidad y el producto de solubilidad antes de estudiar las expresiones del producto de solubilidad.
- A continuación, nos centraremos en los distintos tipos de cálculos del producto de solubilidad.
- Esto implicará calcular el producto de solubilidad a partir de la solubilidad, calcular la solubilidad a partir del producto de solubilidad, predecir la precipitación y calcular la solubilidad utilizando el efecto del ion común.
- Te enseñaremos el método para cada tipo de pregunta, y luego te dejaremos que practiques tus habilidades con la ayuda de nuestros ejemplos prácticos.
Producto de solubilidad y relación de solubilidad
En el artículo Producto de solubilidad, aprendiste la definición de solubilidad.
Lasolubilidad es la cantidad máxima de una especie que puede disolverse en un volumen determinado de disolvente. En otras palabras, es la cantidad de un compuesto necesaria para saturar completamente una disolución.
Medimos la solubilidad en el número de gramos o moles de soluto que pueden disolverse en 100 gramos (1 decilitro) o 1 kilogramo (1 litro o 1 decímetro cúbico) de disolvente.
En los cálculos de solubilidad, normalmente se trabaja con la solubilidad en mol dm-3.
También deberías haber aprendido que las distintas especies iónicas tienen solubilidad variable. Algunas son totalmente solubles en disolución, mientras que otras son sólo ligeramente solubles y forman fácilmente disoluciones saturadas. Cualquier sistema que contenga un sólido iónico en contacto con su propia solución saturada forma un equilibrio de solubilidad. Como todos los equilibrios, el de solubilidad puede representarse mediante una constante de equilibrio. Esta constante de equilibrio concreta se conoce como producto de solubilidad.
El producto de solubilidad es la constante de equilibrio para la disolución de una especie iónica en un equilibrio de solubilidad. Te informa de la concentración relativa de iones acuosos en una reacción de disolución en equilibrio.
El producto de solubilidad nos da una pista sobre la solubilidad de una especie. Sin embargo, la solubilidad y el producto de solubilidad no son lo mismo. Para ayudarte a comprender las diferencias entre estos dos términos, hemos elaborado una práctica tabla comparativa.
| Solubilidad | Producto de solubilidad | |
| Definición | La cantidad máxima de una especie que puede disolverse en un volumen determinado de disolvente. | La constante de equilibrio para la disolución de una especie iónica en un equilibrio de solubilidad. |
| Unidades | Variable, normalmente mol dm-3 | Una variable exponencial que implica mol dm-3 |
| Constante/variable | Variable para una determinada reacción a una temperatura específica | Constante para una determinada reacción a una temperatura específica |
| Afectada por | Temperatura, pH, concentración | Temperatura |
Expresión del producto de solubilidad
Antes de intentar calcular cualquier producto de solubilidad, debemos asegurarnos de que estamos seguros de encontrar expresiones para el producto de solubilidad, sea cual sea la reacción de disolución.
Para el equilibrio general de solubilidad \(A_aB_b(s)\rightleftharpoons aA^{b+}(aq)+bB^{a-}(aq)\) el producto de solubilidad tiene la siguiente expresión
$$K_{sp}={[A^{b+}]_{eqm}}^a\space {[B^{a-}]_{eqm}}^b$$
Es fácil deducir por ti mismo una expresión del producto de solubilidad para cualquier equilibrio de solubilidad. Te explicamos cómo:
- Escribe una ecuación de equilibrio de solubilidad.
- Toma la concentración de equilibrio de cada uno de los productos iónicos acuosos.
- Eleva cada concentración de equilibrio a la potencia de su coeficiente molar en la ecuación de equilibrio equilibrada.
- Multiplica estos términos.
También tienes que encontrar las unidades del producto de solubilidad. Varían en función de la reacción exacta:
- Sustituye las unidades que utilizaste para las concentraciones de equilibrio de los iones acuosos en cada término de la expresión del producto de solubilidad. Si no se indican, las unidades típicas de concentración son mol dm-3.
- Expande cada término según su exponencial y, a continuación, simplifica la expresión para hallar tus unidades finales.
Inténtalo con las preguntas de abajo. Si te quedas atascado, no te preocupes: nuestras respuestas resueltas te guiarán a través de la solución.
Encuentra las expresiones y unidades de los productos de solubilidad para los equilibrios de solubilidad de las siguientes especies iónicas:
- MgCO3
- CaF2
En primer lugar, consideremos la parte a. Un mol de MgCO3 se disuelve en un mol de iones Mg2+ y un mol de iones CO32-:
$$MgCO_3(s)\rightleftharpoons Mg^{2+}(aq)+CO_3^{2-}(aq)$$
Para hallar una expresión para el producto de solubilidad, tomamos las concentraciones de equilibrio de cada uno de los productos iónicos acuosos y las elevamos a la potencia de sus coeficientes molares en la ecuación de equilibrio equilibrada. A continuación, multiplicamos los dos términos. En este caso, ambos coeficientes molares son 1. Elevar algo a la potencia de 1 no cambia su valor, por lo que obtenemos la siguiente expresión:
$$K_{sp}=[Mg^{2+}]_{eqm}\space [CO_3^{2-}]_{eqm}$$
Para hallar las unidades del producto de solubilidad, sustituimos las unidades de concentración en la expresión del producto de solubilidad:
$$unidades=(mol\space dm^{-3})\space (mol\space dm^{-3})$$ $$unidades=mol^2\space dm^{-6}$$
Ya está hecha la parte a. En la parte b, tenemos que prestar atención a los coeficientes molares en la ecuación de equilibrio equilibrada. Un mol de CaF2 se disuelve en un mol de iones Ca2+ pero en dos moles de iones F-:
$$CaF_2(s)πrightleftharpoons Ca^{2+}(aq)+2F^-{aq}$$
Esto significa que en nuestra expresión del producto de solubilidad, la concentración de equilibrio de Ca2+ no cambia, pero la concentración de equilibrio de F- se eleva a la potencia de 2. Terminamos con la siguiente expresión:
$$K_{sp}=[Ca^{2+}]_{eqm}\space {[F^-]_{eqm}}^2$$
Aquí tienes las unidades:
$$unidades=(mol\space dm^{-3})\space (mol\space dm^{-3})^2$$ $$unidades=mol^3\space dm^{-9}$$
Ambas expresiones deberían ayudarte con nuestros cálculos del producto de solubilidad en el resto del artículo. Si estás preparado, ahora veremos algunos.
Ejemplos de cálculo de productos de solubilidad
Dedicaremos el resto del artículo a ver distintos tipos de cálculos de productos de solubilidad. Para cada tipo de pregunta, te proporcionaremos un método paso a paso y te guiaremos a través de un ejemplo práctico. Te sugerimos que primero intentes resolver la pregunta por ti mismo, y luego consultes nuestra solución si te quedas atascado.
Nos centraremos en cuatro tipos de cálculos de productos de solubilidad:
- Cálculo del producto de solubilidad utilizando la solubilidad.
- Calcular la solubilidad utilizando el producto de solubilidad.
- Predicción de la precipitación mediante el producto de solubilidad y la concentración.
- Cálculo de la solubilidad en sistemas con efecto iónico común.
Cálculos del producto de solubilidad utilizando la solubilidad
El primer tipo de cálculo sobre equilibrios de solubilidad que debes ser capaz de realizar consiste en hallar el producto de solubilidad a partir de la solubilidad de una especie.
¿Cómo nos ayuda la solubilidad a encontrar el producto de solubilidad? Bien, recuerda que la solubilidad es la cantidad máxima de soluto que se disuelve en una disolución. En otras palabras, tt es la concentración de soluto disuelto que encontraremos en un sistema en equilibrio. Si conocemos la concentración de soluto disuelto en el equilibrio, podemos utilizar la ecuación de equilibrio equilibrada para hallar las concentraciones de equilibrio de los iones acuosos del soluto. A continuación, las sustituimos en la expresión del producto de solubilidad para llegar a nuestra respuesta final.
Estos son los pasos:
- Escribe una ecuación de equilibrio equilibrada.
- Escribe una expresión para el producto de solubilidad.
- Utiliza la solubilidad para calcular las concentraciones de equilibrio de los iones acuosos en la ecuación de equilibrio.
- Sustituye las concentraciones de equilibrio en la expresión del producto de solubilidad y simplifica tu respuesta expandiendo los paréntesis. Así obtendrás el valor numérico del producto de solubilidad.
- Sustituye las unidades de la concentración de equilibrio de los iones acuosos en la expresión del producto de solubilidad y simplifica tu respuesta ampliando los paréntesis. Así obtendrás las unidades del producto de solubilidad.
Calcula el producto de solubilidad de una disolución saturada de CaF2, que tiene una solubilidad de 2,05 × 10-4 mol dm-3.
En primer lugar, necesitamos escribir una ecuación de equilibrio y una expresión del producto de solubilidad para esta especie. Afortunadamente, ya las hemos encontrado al principio del artículo:
$$CaF_2(s)\rightleftharpoons Ca^{2+}(aq)+2F^-{aq}$$ $$K_{sp}=[Ca^{2+}]_{eqm}\space {[F^-]_{eqm}}^2$$
El siguiente paso es hallar las concentraciones de iones acuosos en solución. Para ello, utilizamos la solubilidad que se nos da en la pregunta. Aquí, el CaF2 tiene una solubilidad de 2,05 × 10-4 mol dm-3, lo que significa simplemente que 2,05 × 10-4 mol dm-3 CaF2 se disuelve para formar una solución saturada en equilibrio. Nuestra ecuación de equilibrio nos dice que por cada mol de CaF2 que se disuelve, acabamos con un mol de iones Ca2+ y dos moles de iones F-. Como resultado, podemos calcular las concentraciones de equilibrio de Ca2+ y F-:
$$[Ca^{2+}]_{eqm}=2,05 veces 10^{-4}\ espacio mol dm^{-3}$$ $$[F^-]_{eqm}=2(2,05 veces 10^{-4})=4,10 veces 10^{-4}\ espacio mol dm^{-3}$$
Ahora tenemos que sustituir estos valores en la expresión del producto de solubilidad:
$$K_{sp}=(2,05 veces 10^{-4})\space (4,10 veces 10^{-4})^2$$$$K_{sp}=3,45 veces 10^{-11}$$
Por último, necesitamos unidades para el producto de solubilidad. Para ello, sustituimos las unidades utilizadas para nuestras concentraciones de equilibrio de los iones acuosos en la expresión del producto de solubilidad. Afortunadamente, ya hemos calculado las unidades para este producto de solubilidad en concreto al principio del artículo:
$$unidades=(mol\space dm^{-3})\space (mol\space dm^{-3})^2$$ $$unidades=mol^3\space dm^{-9}$$
Nuestra respuesta final es, por tanto, 3,45 × 10-11 mol3 dm-9.
Sólo realizamos cálculos de productos de solubilidad, sea cual sea el tipo o estilo, con especies poco solubles. En primer lugar, las especies totalmente solubles tienen una solubilidad elevada, por lo que rara vez alcanzan el equilibrio: la idea del producto de solubilidad simplemente no se aplica a ellas. En segundo lugar, aunque las especies solubles alcancen el equilibrio, la concentración de iones acuosos llega a ser tan alta que otras interacciones ion-ión interfieren en nuestros cálculos.
Cálculos de solubilidad mediante el producto de solubilidad
Calcular el producto de solubilidad utilizando la solubilidad es sólo un ejemplo de cálculo del producto de solubilidad que puedes hacer. También puedes trabajar en la otra dirección y hallar la solubilidad de una especie utilizando el propio producto de solubilidad. El proceso es el siguiente:
- Escribe una ecuación de equilibrio.
- Escribe una expresión para el producto de solubilidad.
- Supón que tu especie iónica tiene una solubilidad de x mol dm-3.
- Halla las concentraciones de equilibrio de los iones acuosos en función de x y sustitúyelas en la expresión del producto de solubilidad.
- Simplifica y resuelve para x para hallar un valor de solubilidad.
¿Te parece complicado? Te prometemos que no lo es tanto. Aquí tienes un ejemplo para que veas cómo se hacen estos cálculos.
Calcula la solubilidad del MgCO3 en mol dm-3. Utiliza como ayuda la siguiente ecuación de equilibrio.
$$MgCO_3(s)\rightleftharpoons Mg^{2+}(aq)+CO_3^{2-}(aq)\qquad K_{sp}=6,82 veces 10^{-6}\space mol^2\space dm^{-6}$$
En primer lugar, tenemos que escribir una ecuación de equilibrio para este equilibrio de solubilidad concreto. Afortunadamente, esto ya lo hemos hecho. En su lugar, podemos pasar a escribir una expresión del producto de solubilidad. Una vez más, ya lo hemos hecho antes en este artículo, así que si no recuerdas cómo hemos llegado a la respuesta, échale un vistazo al primer ejemplo práctico.
$$K_{sp}=[Mg^{2+}]_{eqm}\space [CO_3^{2-}]_{eqm}$$
Ahora, supongamos que la solubilidad del MgCO3 es x mol dm-3. Esto significa que x mol dm-3 de MgCO3 se disuelve en solución en el equilibrio. Los coeficientes molares de la ecuación de equilibrio nos dicen que por cada mol de MgCO3 que se disuelve, acabamos con un mol de iones Mg2+ y un mol de iones CO32- . Por tanto
$$[Mg^{2+}]_{eqm}=x\space mol\space dm^{-3}$$ $$[{CO_3}^{2-}]_{eqm}=x\space mol\space dm^{-3}$$
Sabemos cuál es el producto de solubilidad para esta reacción en concreto: nos lo dieron en la pregunta. Ahora podemos sustituir las concentraciones de equilibrio en términos de x en la expresión del producto de solubilidad y hacerlas iguales al propio producto de solubilidad. Al expandir los paréntesis, obtenemos un valor para x:
$$K_{sp}=(x)\space (x)$$ $$6,82 veces 10^{-6}=(x)^2$$ $$x=2,61 veces 10^{-3}\space mol\space dm^{-3}$$
¿Cómo nos ayuda esto a encontrar la solubilidad? Bien, recuerda que supusimos que la solubilidad del MgCO3 era x mol dm-3. Sabemos x: ¡lo hemos calculado! Por tanto, la solubilidad del MgCO3 es igual a 2,61 × 10-3 mol dm-3.
Cálculos del producto de solubilidad: Predicción de la precipitación
A veces, al mezclar dos disoluciones no saturadas de sales diferentes, se forma una nueva sal que precipita fuera de la disolución.Predecir la precip itación es fácil cuando conocemos el producto de solubilidad de la nueva sal. Si sustituimos las concentraciones de iones acuosos en la expresión del producto de solubilidad de la nueva sal, y obtenemos una respuesta mayor que su producto de solubilidad, sabemos que la sal precipitará. Esto se debe a que el producto de solubilidad debe permanecer siempre constante para una determinada reacción a una temperatura específica. El sistema obliga a disminuir las concentraciones de los iones acuosos convirtiéndolos en una sal sólida para mantener igual el producto de solubilidad.
A continuación te resumimos el método:
- Escribe una ecuación de equilibrio para la nueva sal que podría formarse.
- Escribe una expresión para el producto de solubilidad de la nueva sal.
- Utiliza la información de la pregunta para hallar las concentraciones de los iones acuosos de la nueva sal.
- Sustituye estas concentraciones en la expresión del producto de solubilidad.
- Compara tu respuesta con el producto de solubilidad real de la nueva sal y deduce si la sal precipita o no.
Prueba el siguiente problema y comprueba si tu respuesta coincide con nuestra solución trabajada.
Una solución de 4,00 × 10-2 mol dm-3 de KCl se mezcla con una solución de 2,50 × 10-3 mol dm-3 de AgNO3 en proporción 1:1. Predice si la sal ligeramente soluble AgCl precipita fuera de la disolución o no. El producto de solubilidad para el AgCl es igual a 1,77 × 10-10 mol2 dm-6.
En primer lugar, escribimos una ecuación de equilibrio y una expresión del producto de solubilidad para la disolución de la nueva sal, AgCl:
$$AgCl(s)\rightleftharpoons Ag^+(aq)+Cl^-(aq)$$ $$K_{sp}=[Ag^+]_{eqm}\space [Cl^-]_{eqm}$$
A continuación, consideramos las concentraciones de los iones acuosos de la nueva sal, que son Ag+ y Cl-. Los iones Ag+ proceden de la solución AgNO3 de 2,50 × 10-3 mol dm-3; los iones Cl- proceden de la solución KCl de 4,00 × 10-2 mol dm-3. Las dos soluciones se combinan en proporción 1:1, lo que significa que las concentraciones de todos sus iones se reducen a la mitad. Por tanto
$$[Ag^+]=\frac{2,50 veces 10^{-3}}{2} =1,25 veces 10^{-3}$$ $$[Cl^-]=\frac{4,00 veces 10^{-2}}{2} =2,00 veces 10^{-2}$$
Sustituyamos ahora estas concentraciones en la expresión del producto de solubilidad:
$$(1,25 veces 10^{-3})espacio (2,00 veces 10^{-2})=2,50 veces 10^{-5}\ espacio mol^2\ espacio dm^{-6}$$
Compara este valor con el producto de solubilidad real dado en la pregunta. Comprobamos que es mayor que el producto de solubilidad, por lo que la sal precipita.
$$2,50 veces 10^{-5}>1,77 × 10^{-10}$$
Cálculos del producto de solubilidad: El efecto del ion común
Ya casi has terminado con los cálculos del producto de solubilidad. Nos queda por ver una última aplicación del producto de solubilidad: El cálculo de la solubilidad en disoluciones en las que intervienen iones comunes. En estos sistemas en equilibrio, debemos tener en cuenta el efecto del ion común.
Un ion común es un ion que se encuentra en dos compuestos diferentes. El efecto del ion común establece que las especies iónicas son menos solubles en soluciones que contienen un ion común.
En Producto de solubilidad, aprendiste que la solubilidad de una especie iónica disminuye si el disolvente contiene un ion común. Por ejemplo, el MgCO3 es menos soluble en una solución de la sal totalmente soluble MgSO4 que en agua pura. Este fenómeno puede explicarse mediante el Principio de Le Chatelier y el producto de solubilidad.
- El producto de solubilidad es constante para una reacción determinada a una temperatura concreta.
- Añadir un ion común acuoso a una solución saturada de una sal ligeramente soluble aumenta la concentración de sal disuelta y altera la posición del equilibrio.
- Esto hace que la posición del equilibrio se desplace hacia la izquierda para contrarrestar la perturbación, lo que significa que precipita más sal disuelta.
- Así, se restablece el equilibrio y disminuye la solubilidad de la sal.
- En conjunto, el valor del producto de solubilidad permanece constante.
El cálculo de la solubilidad en soluciones con iones comunes utiliza un método similar al cálculo de la solubilidad en agua pura, que hemos visto hace un segundo. Sin embargo, hay algunos cambios. Como antes, suponemos que la solubilidad de la sal en cuestión es x mol dm-3. Esto nos permite hallar la concentración del ion no común en función de x. Pero esta vez, tenemos que considerar la concentración del ion común en el equilibrio utilizando la información sobre el disolvente dada en la pregunta. He aquí cómo hacerlo:
- Escribe una ecuación de equilibrio equilibrada.
- Escribe una expresión para el producto de solubilidad.
- Supón que tu especie iónica tiene una solubilidad de x mol dm-3.
- Halla la concentración de equilibrio del ion acuoso no común en función de x.
- Halla la concentración de equilibrio del ion acuoso común utilizando la concentración del disolvente dada en la pregunta.
- Sustituye ambas concentraciones de equilibrio en la expresión del producto de solubilidad, luego simplifica y resuelve para x para hallar un valor de solubilidad.
Recuerda que estamos hallando la solubilidad de una sal poco soluble, que tiene una solubilidad baja. En consecuencia, su concentración de iones disueltos en el equilibrio es muy baja. Pero esto es útil porque significa que podemos fingir que la concentración del ion común se debe enteramente al disolvente. Simplemente ignoramos cualquier ion común que proceda de la sal disuelta, porque su número es insignificantemente pequeño comparado con el número procedente del disolvente. Esto simplifica mucho el cálculo.
Intenta resolver el siguiente problema.
1,23 × 10-4 moles de AgOH se disuelven en 1,00 dm de agua pura, lo que le da una solubilidad de 1,23 × 10-4 mol dm-3 y un producto de solubilidad de 1,52 × 10-8 mol dm-3. Calcula su solubilidad en una solución de 2,00 mol dm-3 de NaOH.
En primer lugar, escribimos una ecuación de equilibrio y una expresión del producto de solubilidad para el AgOH:
$$AgOH(s)\rightleftharpoons Ag^+(aq)+OH^-(aq)$$ $$K_{sp}=[Ag^+]_{eqm}\space [OH^-]_{eqm}$$
A continuación, suponemos que el AgOH tiene una solubilidad de x mol dm-3. Esto significa que x mol dm-3 de AgOH se disuelve en el equilibrio. La ecuación de equilibrio nos dice que por cada mol de AgOH que se disuelve, acabamos con un mol de iones Ag+. Por tanto
$$[Ag^+]_{eqm}=x\space mol\space dm^{-3}$$
También necesitamos conocer la concentración de iones OH-. El OH- es nuestro ion común: en este equilibrio, los iones OH- proceden no sólo del AgOH disuelto, sino también de nuestro disolvente, el NaOH. Pero como el AgOH es sólo ligeramente soluble, no produce muchos iones OH- cuando se disuelve en el equilibrio, por lo que la concentración de iones OH- de esta disolución es muy baja. Por tanto, podemos ignorarla y considerar simplemente los iones OH- procedentes del disolvente. La pregunta nos dice que la disolución de NaOH utilizada como disolvente tiene una concentración de 2,00 mol dm-3. Por tanto, la concentración de iones OH- en el disolvente también es de 2,00 mol dm-3. Usamos esto como nuestra concentración global de equilibrio de iones Cl-:
$$[OH^-]_{eqm}=2,00 mol de espacio dm^{-3}$$
Ahora sustituyamos nuestras dos concentraciones de equilibrio en la expresión del producto de solubilidad y comparémoslo con el valor del producto de solubilidad que se nos da en la pregunta:
$$1,52 veces 10^{-8}=(x)\space (2,00)$$ $$x=7,60 veces 10^{-9}\space mol\space dm^{-3}$$
Recuerda que supusimos que la solubilidad del AgOH en esta solución era x mol dm-3. Por tanto, su solubilidad es de 7,60 × 10-9 mol dm-3.
Siempre es útil comparar tu respuesta con la solubilidad de la sal en agua pura, si la conoces. Afortunadamente, la pregunta nos daba la solubilidad del AgOH en agua pura. Gracias al efecto del ion común, esperaríamos que este valor fuera mucho mayor que la solubilidad del AgOH en 2,00 mol dm-3 de NaOH, ya que esta segunda solución tiene una concentración relativamente alta del ion común (OH-). Como ambos valores toman las mismas unidades, podemos compararlos directamente. Comprobamos que, efectivamente, la solubilidad del AgOH disminuye cuando lo disolvemos en una solución de NaOH:
$$1,23 veces 10^{-4}>7,60 veces 10^{-9}$$
Cálculos del producto de solubilidad - Puntos clave
- El producto de solubilidad es la constante de equilibrio para la disolución de una especie iónica en un equilibrio de solubilidad. Te informa sobre la concentración relativa de iones acuosos en una reacción de disolución en equilibrio.
- Para el equilibrio de solubilidad \(A_aB_b(s)\(A^{b+}(aq)+bB^{a-}(aq)\) , el producto de solubilidad tiene la expresión \(K_{sp}={[A^{b+}]_{eqm}}^a\space {[B^{a-}]_{eqm}}^b\)
- Los cálculos del producto de solubilidad incluyen
- Cálculo del producto de solubilidad utilizando la solubilidad.
- Calcular la solubilidad utilizando el producto de solubilidad.
- Utilizar el producto de solubilidad para predecir si una sal precipitará o no.
- Cálculo de la solubilidad en soluciones en las que interviene un ion común.
- Los cálculos del producto de solubilidad sólo pueden realizarse para especies poco solubles.
Aprende con 14 tarjetas de Cálculos del Producto de Solubilidad en la aplicación StudySmarter gratis
Tenemos 14,000 tarjetas de estudio sobre paisajes dinámicos.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Preguntas frecuentes sobre Cálculos del Producto de Solubilidad
Acerca de StudySmarter
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende más
