Ecuación de Arrhenius

Definición de la ecuación de Arrhenius

Hemos aprendido qué es la ecuación de Arrhenius: una fórmula matemática que relaciona la constante de velocidad de una reacción, k, con la energía de activación y la temperatura de esa reacción. Es importante porque nos permite ver cómo afecta un cambio de temperatura a la velocidad de reacción.

La ecuación tiene este aspecto

Fig. 1 - La ecuación de Arrhenius

Vamos a desglosarlo.

• k es la constante de velocidad.
• A es la constante de Arrhenius, también conocida como factor preexponencial.
• e es el número de Euler.
• _Ea es la energía de activación de la reacción.
• R es la constante de los gases.
• T es la temperatura.
• Global, ${\mathrm{e}}^{\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{RT}}}$es la proporción de moléculas que tienen energía suficiente para reaccionar.

Como puedes ver, hay muchas "partes móviles" implicadas en esta ecuación, y quizá algunos símbolos con los que no estés familiarizado. No te preocupes si aún no entiendes del todo lo que ocurre con la ecuación: repasaremos cada parte para que sepas cómo utilizarla.

La constante de velocidad, k

Si has leído el artículo Ecuaciones de velocidad, sabrás que la velocidad de reacción depende de la concentración de determinados productos. Lo escribimos como velocidad = k [A^]m [B^]n, donde k es una constante de velocidad que varía en función de la reacción. Esa misma constante de velocidad k aparece aquí en la ecuación de Arrhenius. Cambia para reacciones diferentes a temperaturas diferentes. Sus unidades también varían según la reacción.

La constante de Arrhenius, A

La letra A en la ecuación de Arrhenius representa la constante de Arrhenius. Está relacionada con el número de colisiones que se producen entre las moléculas que reaccionan. También se conoce como factor preexponencial y sus unidades varían en función de la constante de velocidad. Tanto la constante de Arrhenius como la constante de velocidad toman siempre las mismas unidades.

Número de Euler, e

La siguiente parte que veremos de la ecuación es la letra e, que es el número de Euler. Se llama así por el matemático que descubrió por primera vez sus propiedades significativas. Equivale aproximadamente a 2,71828, pero no hace falta que lo sepas, porque hay un botón para e en tu calculadora que almacena el valor por ti.

Energía de activación, _Ea

_Ea es la energía de activación de la reacción concreta que estás analizando. Al igual que k, la energía de activación depende de la reacción. Sin embargo, a diferencia de k, tiene unidades fijas: J ^mol-1.

Constante de los gases, R

La letra R en la ecuación de Arrhenius representa la constante de los gases. Es posible que la hayas visto antes en la Ley de los gases ideales. Es una constante que relaciona la presión, el volumen y la temperatura con el número de moles de un gas. Tiene un valor de 8,31 y toma las unidades J ^{K-1 mol-1}.

Temperatura, T

El último componente individual de la ecuación es la temperatura, T. Se mide en Kelvin, K.

R, T y Ea

En la ecuación de Arrhenius, verás que e se eleva a la potencia del valor negativo de la energía de activación, dividido por la constante de los gases multiplicada por la temperatura. Es un trabalenguas; se escribe más sencillamente como $e^{\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{RT}}}$. En general, representa el número de moléculas con energía suficiente para reaccionar a una temperatura determinada. En otras palabras, significa el número de moléculas que alcanzan o superan la energía de activación de la reacción.

Tabla resumen

¿Has olvidado cómo era la ecuación original de Arrhenius? Aquí la tienes de nuevo.

Fig. 2. - La ecuación de Arrhenius

También hemos hecho una tabla comparando las distintas partes de la ecuación.

Reorganizar la ecuación de Arrhenius

Es importante saber cómo reordenar la ecuación de Arrhenius. Puedes encontrarte con preguntas en las que necesites cambiar el sujeto de la ecuación para llegar a la respuesta. Como la ecuación original utiliza la potencia de e, para reordenar la ecuación de Arrhenius se utiliza el logaritmo natural, ln. Recuerda que los logaritmos (a menudo abreviados como logaritmos) son lo contrario de las potencias. Si ^e5 = x, entonces ln(x) = 5. Podemos utilizar otras reglas de los logaritmos para obtener otro resultado útil: ln(^ex) = x. Tomar los logaritmos naturales de todas las partes de la ecuación es una forma de deshacerse de e, y permite averiguar los valores de otras variables de la ecuación.

Utilizando los principios expuestos, podemos hallar, por ejemplo, la energía de activación particular de una reacción. Empezamos tomando el logaritmo natural (ln) de ambos lados de la ecuación:

$$\begin{gathered} \mathrm{k}=\mathrm{A}{e}^{\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{RT}}} \\ \ln \left(\mathrm{k}\right)=\ln \left(\mathrm{A}{e}^{\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{RT}}}\right) \end{gathered}$$

Utilizando otra regla de los logaritmos, podemos separar el lado derecho en dos logaritmos distintos. Luego lo simplificamos, utilizando el hecho de que ln(^ex) = x:

$$\begin{gathered} \ln \left(\mathrm{k}\right)=\ln \left(\mathrm{A}\right)+\ln \left(e^{\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{RT}}}\right) \\ \ln \left(\mathrm{k}\right)=\ln \left(\mathrm{A}\right)+\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{RT}} \end{gathered}$$

Tener la ecuación de Arrhenius en esta forma será útil cuando veamos la gráfica de la ecuación de Arrhenius, pero también podríamos reordenarla para hallar Ea_:

_{$$\begin{gathered} \ln \left(\mathrm{k}\right)-\ln \left(\mathrm{A}\right)=\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{RT}} \\ {\mathrm{E}}_{\mathrm{a}}=-\mathrm{RT}\left(\ln \right(\mathrm{k})-\ln (\mathrm{A})=\mathrm{RT}(\ln \left(\mathrm{A}\right)-\ln \left(\mathrm{k}\right)) \end{gathered}$$}

Gráficos de la ecuación de Arrhenius

Pasemos a representar gráficamente la ecuación de Arrhenius. Un gráfico de Arrhenius, o diagrama de Arrhenius, es una forma gráfica de visualizar la ecuación de Arrhenius. Es una forma de averiguar la energía de activación de una reacción, _Ea, y la constante de Arrhenius, A, utilizando datos experimentales. Reordenando la ecuación de Arrhenius en una forma que se relacione con la ecuación general de una recta, podemos trazar un gráfico lineal de ln (k) frente a $\frac{1}{\mathrm{T}}$. Entonces no sólo podemos utilizar el gradiente de la gráfica para calcular _Ea, sino también el punto en el que x= 0 para hallar A.

La ecuación general de una recta

La ecuación de una recta es y = mx + c, donde:

• y es el valor y de un punto de la recta.
• m es el gradiente de la recta.
• x es el valor x de un punto de la recta.
• c es la coordenada y del punto en el que x = 0.

¿Qué relación existe entre la ecuación general de una recta y la ecuación de Arrhenius? Cambiando la ecuación de Arrhenius, podemos hacer que cada término de la ecuación de Arrhenius se corresponda con un término determinado de la ecuación general de una recta. He aquí cómo:

Fig. 3 - Ecuación de Arrhenius y ecuación general de una recta

Observa lo siguiente:

• ln(k) representa las coordenadas y de los puntos de la recta. Calcula ln(k) utilizando valores determinados experimentalmente.
• $\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{R}}$representa m, el gradiente de la recta.
• $\frac{1}{\mathrm{T}}$ representa las coordenadas x de los puntos de la recta. Calcula $\frac{1}{\mathrm{T}}$ utilizando valores determinados experimentalmente.
• ln(A) representa c, la coordenada y del punto en el que x = 0.

Energía de activación

Si volvemos a ver cómo se mapea la ecuación de Arrhenius reordenada en la ecuación general de una recta, podemos ver que el gradiente de la recta, m, es igual a $\frac{-\mathrm{Ea}}{\mathrm{R}}$. Como R es una constante, si conocemos el gradiente de nuestra recta, podemos reordenarla fácilmente para averiguar cuál es la energía de activación:

La constante de Arrhenius

Utilizando el mismo principio que empleamos para determinar la energía de activación, podemos hallar la constante de Arrhenius observando con qué parte de la ecuación de una recta se relaciona. En la ecuación general de la recta, sabemos que c es la coordenada y del punto en el que x = 0; en nuestra gráfica de Arrhenius, c está representada por ln(A). Una vez que conocemos el punto en el que x = 0, podemos reordenar para resolver A.

Ejemplo de ecuación de Arrhenius

He aquí un ejemplo de gráfica de ecuación de Arrhenius (que, como recordarás, también se conoce como gráfico de Arrhenius).

Fig. 4 - Ejemplo de gráfica de Arrhenius

Aquí, el gradiente de la recta, que es $\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{R}}$es aproximadamente -12300, por lo que la energía de activación es igual a 102 kJ ^mol-1. También podemos ver que la coordenada y del punto en el que x = 0, que es ln(k), es igual a -1,0. Esto hace que k sea igual a 0,368.

Importancia de la ecuación de Arrhenius

Sabemos qué es la ecuación de Arrhenius y cómo trabajar con ella en sus diferentes formas. Pero, ¿por qué es importante? Bueno, nos dice cómo el cambio de determinadas variables, como la temperatura y la energía de activación, afecta a la constante de velocidad, k. Esto a su vez afecta a la velocidad de reacción. La constante de velocidad es proporcional a la velocidad de una reacción, por lo que cualquier cosa en la ecuación de Arrhenius que aumente el valor de k aumenta la velocidad de reacción.

• Al aumentar la temperatura de una reacción aumenta el valor de $\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{RT}}$. Según la ecuación de Arrhenius, esto aumenta el valor de k y, por tanto, aumenta la velocidad de reacción.
• Disminuir la energía de activación de una reacción aumenta el valor de $\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{RT}}$. Según la ecuación de Arrhenius, esto aumenta el valor de k y, por tanto, aumenta la velocidad de reacción.