En este artículo aprenderemos sobre la hipótesis de De Broglie y veremos cómo la materia puede comportarse como algo más que una partícula.
- Este artículo trata sobre la hipótesis de De Broglie
- En primer lugar, aprenderemos qué es la hipótesis de De Broglie y qué son las ondas de materia .
- A continuación, aprenderemos a utilizar la ecuación de longitud de onda de De Broglie
- Por último, aprenderemos cómo se aplica la hipótesis de De Broglie a los electrones
Hipótesis de De Broglie
De Broglieplanteó la hipótesis de que la materia actúa como una onda
De Broglie propuso la idea de que la materia actúa como una ondaen 1924. Otro nombre para esta teoría es el de ondas de materia de De Broglie.
Ondas de materia
Lasondas de materia son el comportamiento ondulatorio que presenta la materia
Las ondas de materia son una parte importante de la teoría de la mecánica cuántica porque muestran cómo pueden existir ondas y partículas al mismo tiempo. Todo tipo de materia se mueve en ondas. Un haz de electrones, por ejemplo, puede curvarse del mismo modo que un haz de luz o una onda de agua. La mayoría de las veces, sin embargo, la longitud de onda es demasiado pequeña para tener un efecto real en la vida cotidiana.
A continuación se muestra el aspecto de estas ondas de materia:
Fig.1: Un ejemplo de onda de materia
Las flechas verde y azul muestran el comportamiento ondulatorio de una especie, mientras que la bola amarilla representa el comportamiento particulado.
Cuando se intenta encontrar la ubicación de una partícula en un punto x dado, la probabilidad de que la partícula se encuentre en "x" se extiende como una onda, como se muestra arriba; no hay una posición definida de la partícula.
La distribución de probabilidad se muestra mediante la opacidad, En los puntos donde la flecha es más clara, hay una menor probabilidad de que la partícula esté allí
Ecuación de la longitud de onda de De Broglie
Como parte de su hipótesis, De Broglie propuso una ecuación para hallar la longitud de onda de una partícula.
La ecuación de longitud de onda de De Broglie se utiliza para calcular la longitud de onda de una partícula que presenta un comportamiento ondulatorio. La ecuación es
$$\lambda=\frac{h}{p}$$
Donde
- λ es la longitud de onda
- h es la constante de Planck (6,626 x 10-34 \frac{kg*m^2}{s}\)).
- p es el momento.
La longitud de onda de de Broglie, es la longitud de onda de una partícula con masa, frente a una partícula sin masa.
Recuerda que la fórmula del momento (p) es \(p=mv\). Donde m es la masa y v es la velocidad. Basándonos en esto, cuanto mayor sea la partícula, menor será la longitud de onda. Por ello, la longitud de onda de los objetos cotidianos es muy pequeña, por lo que sus propiedades ondulatorias son despreciables. Sin embargo, para partículas pequeñas como protones y electrones, la longitud de onda es grande/importante.
Longitud de onda térmica de De Broglie
La longitud de onda de De Broglie térmica (λ th) es aproximadamente la longitud de onda de De Broglie media de las partículas de un gas ideal a una temperatura dada.
Un gas ideal es una estimación del comportamiento de un gas "real". Los gases ideales tienen un volumen y una masa despreciables.
La expresión da la longitud de onda térmica de de Broglie:
$$\lambda_{th}=\frac{h}{\sqrt{2*\pi*m*k_{B}*T}}$$
Donde
- h es la constante de Planck
- m es la masa de la partícula de gas.
- kB es la constante de Boltzmann (1,38 x 10-23 J/K).
- T es la temperatura del gas.
Calcular la longitud de onda de De Broglie
Ahora que ya sabemos qué es la ecuación de la longitud de onda, vamos a ponerla en práctica.
Calcula la longitud de onda de De Broglie de un protón que se mueve a 1,20 x106 m/s. La masa en reposo de un protón es de 1,67 x 10-27 kg.
En primer lugar, debemos calcular el momento:
$$p=m*v$$
$$p=(1.67x10^{-27}\,kg)(1.20x10^6\frac{m}{s})$$
$$p=2.004x10^{-21}\frac{kg*m}{s}$$
Ahora podemos introducir esto en la ecuación de la longitud de onda:
$$lambda=\frac{h}{p}$$
$$\lambda=\frac{6.626x10^{-34}\frac{kg*m^2}{s}}{2.004x10^{-21}\frac{kg*m}{s}}$$
$$\lambda=3.31x10^{-7}\,m$$
$$1x10{-9}\,m=1\,nm$$
$$3.31x10^{-7}\,m*\frac{1\,nm}{1x10^{-9}\,m}=331\,nm$$
Como referencia, la luz violeta es de unos 380 nm, por lo que esta longitud de onda es un poco demasiado pequeña para ser visible por el ojo humano.
Longitud de onda de De Broglie para los electrones
Cuando los electrones orbitan alrededor del núcleo, las ondas de De Broglie forman un bucle cerrado. Los electrones sólo pueden existir como ondas estacionarias que "encajan" en la nube de electrones y están "permitidas", como se muestra a continuación:
Fig.2: Un nivel de energía permitido (izquierda) y uno no permitido (derecha)
A la izquierda, la onda estacionaria encaja en la nube de electrones, por lo que se encuentra en un nivel de energía permitido. A la derecha, la onda no encaja y, por tanto, no está en un nivel de energía permitido.
Básicamente, a los electrones se les permite existir en niveles de energía cuantificados, llamados "envolturas":
Fig.3: Niveles de energía permitidos, también llamados envolturas
Cuanto más cerca está un electrón del núcleo, menor es su energía. Los electrones en el estado n=1 se denominan electrones en estado fundamental, ya que se encuentran en el nivel de energía más bajo.
Ahora que ya sabemos cómo se comportan las ondas electrónicas, ¡calculemos la longitud de onda!
Un electrón en estado básico (n=1) orbita alrededor de un núcleo de hidrógeno a 2,18 x106 m/s. La masa de un electrón es de 9,11 x 10-31 kg. ¿Cuál es la longitud de onda de este electrón?
Como antes, tenemos que calcular primero el momento:
$$p=m*v$$
$$p=(9.11x10^{-31}\,kg)(2.18x10^{6}\frac{m}{s})$$
$$p=1.99x10^{-24}\frac{kg*m}{s}$$
$$\lambda=\frac{h}{p}$$
$$\lambda=\frac{6.626x10^{-34}\frac{kg*m^2}{s}}{1.99x10^{-24}\frac{kg*m}{s}}$$
$$\lambda=3.33x10^{-10}\,m$$
$$\lambda=0.333\,nm$$
Aplicaciones de la longitud de onda de De Broglie
1. Las propiedades ondulatorias de la materia sólo pueden observarse en cosas muy pequeñas. Utilizando electrones como fuente, se puede hacer un patrón de interferencia de la longitud de onda de De Broglie. La energía media de un electrón en un microscopio electrónico es de 10 eV, por lo que la longitud de onda de de Broglie es de 3,9 x 10-10 m.
Esto es similar a la distancia entre átomos. Por tanto, un cristal actúa como una rejilla de difracción de electrones. La estructura del cristal puede averiguarse observando el patrón de difracción.
2. La longitud de onda utilizada en un microscopio limita el tamaño de las cosas más pequeñas que podemos ver. La longitud de onda más corta de la luz visible es de 400 nm, que equivale a 4 x 10-7 m. La mayoría de los microscopios electrónicos utilizan longitudes de onda 1.000 veces menores y pueden estudiar detalles muy pequeños.
Longitud de onda de De Broglie - Puntos clave
- De Broglie planteó la hipótesis de que la materia actúa como una onda
- Lasondas de la materia son el comportamiento ondulatorio que presenta la materia
- La ecuación de la longitud de onda de De Broglie se utiliza para calcular la longitud de onda de una partícula que presenta un comportamiento ondulatorio. La ecuación es
$$\lambda=\frac{h}{p}$$
- λ es la longitud de onda
- h es la constante de Planck (6,626 x 10-34 \(\frac{kg*m^2}{s}\))
- p es el momento
- Cuando los electrones orbitan alrededor del núcleo, las ondas de De Broglie forman un bucle cerrado. Los electrones sólo pueden existir como ondas estacionarias que "encajan" en la nube de electrones y se les "permite"
Referencias
- Fig.2- Un nivel de energía permitido (izquierda) y uno no permitido (derecha) (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/Standing_wave_electron_cloud.png/640px-Standing_wave_electron_cloud.png) por CK-12 Foundation (https://ck12.org/) bajo licencia CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)
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